Approximation affine

Propriété (Rappel)

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de `\mathbb{R}` et \(a\) un réel de l'intervalle \(I\).
On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère du plan.
Si la fonction \(f\) est dérivable en \(a\), alors la tangente \(\mathcal{T}\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation \(\boxed{y=f'(a)(x-a)+f(a)}.\)

Remarque

La tangente \(\mathcal{T}\) est la meilleure façon d'approcher la courbe représentative de la fonction \(f\) au voisinage du point \(\text{A}(a~;f(a))\) à l'aide d'une droite, d'où la propriété qui suit.

Propriété

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de `\mathbb{R}` et \(a\) un réel de l'intervalle \(I\).
Si la fonction \(f\) est dérivable en \(a\), alors pour des valeurs de \(x\) « proches de \(a\) », on a l'approximation \(f(x) \approx f'(a)(x-a)+f(a)\).
Autrement dit, en posant \(x=a+h\) avec \(h\) « proche de \(0\) », \(\boxed{f(a+h) \approx f'(a) \times h+f(a)}\). 
On dit que \(f'(a) \times h+f(a)\) est l'approximation affine de \(f(a+h)\) pour \(h\) « proche de \(0\) ». 

Exemple

On considère \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) et dérivable en \(1\) telle que \(f(1) = 2\) et \(f′(1) = 3\).
\(0{,}02\) étant « proche de \(0\) », \(f(1{,} 02) = f(1 + 0{,} 02) \approx f′(1) \times 0{,}02 +f(1)\).
D'où \(f(1{,} 02) \approx 3 \times 0{,} 02 +2\) soit \(f(1{,}02) \approx 2{,} 06\).